Узники замка «Логика»
Давным-давно в мире существовало 2 государства: государство Нуля и Бесконечности натуральных чисел. Они всё время ссорились друг с другом, а выигрывали всегда натуральные числа. Нуль постоянно завидовал Бесконечности. Ему казалось, что все его унижают и, подчеркивая никчемность, говорят: "Полный нуль (без палочки)!". А Нуль считал: «Я - самое важное число. И от меня зависит масштаб и значение любой величины».
Думал-думал Нуль и придумал: «Разрушу-ка я государство Её Величества Бесконечности, украду из ряда натуральных чисел два числа: Двойку и Тройку. Посмотрю потом – кто важнее». Украл числа Нуль и заточил их в замок "Логика". Тем самым, нарушилась цепочка последовательности чисел. Прежде, жители волшебного государства Бесконечности могли сосчитать звезды на небе, капли в море или песчинки на земле. А теперь это стало невозможно, дальше единицы никто ничего сосчитать не мог. Остановилась жизнь натуральных чисел.
Собрались вместе жители государства Бесконечности, стали думать, что им делать. И решили отправить на выручку к Двойке и Тройке самое смелое, самое первое натуральное число - Единицу. Пришла Единица к замку и сказала злодею, что готова сражаться до последнего и спасти друзей даже ценой собственной жизни. Нуль был хитрым. Он сказал Единице: «Я отпущу твоих друзей. Но для того, чтобы выбраться, вы должны ответить на 4 вопроса. За ответ на каждый из них я буду давать вам ключ». И вот они в замке.
Нуль был уверен, что вопросы, подготовленные им, сложные. Он выходит в центр зала и диктует первый вопрос: - Что такое бином Ньютона? - гордо произнёс Нуль. Двойка и Тройка начали рассуждать: - Бином - это двучлен, в переводе с латыни, - в полголоса говорила Двойка. - Формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в виде суммы одночленов, - с радостью сказала Тройка.
Единица, услышав рассуждения Двойки и Тройки, написала на стенах замка следующие формулы:
(a + b)n = C0n anb0+ C1nan-1b + C2n a n-2b2 + ... + Cn-1n abn-1 + Cnna0bn.
n = 0, (а +b)0 = 1
n = 1, (а +b)1 = 1а+1b
n = 2, (а + b)2 = 1а2+ 2аb +1b2
n = 3, ( а + b)3 = 1 а3 + 3а2b + 3аb2+1 b3
n = 4, ( а + b)4 = 1а4 + 4а3b + 6а2b2+4а b3 +1b4
n = 5, (а + b)5 = 1а5+ 5а4b+ 10а3b2+ 10а2b3+ 5аb4+ 1b5
Нуль замешкался. - Ладно, ладно, ещё посмотрим. Отдайте им ключ! А теперь отведите их в разные комнаты. Совещаются ещё! - грозно приказал он. Стражи отдали ключ и отвели их по разным комнатам. Нуль зашёл в комнату к Двойке. - Скажи, какие числа называются биномиальными коэффициентами? - с усмешкой произнёс он. - Что-то лёгкие у тебя вопросы! Это коэффициенты в разложение бинома Ньютона, - уверенно сказала Двойка.
Хорошо, дайте ей ключ! - приказал Нуль. После он отправился в комнату Тройки. - Тебе вопрос, какие формы треугольника Паскаля существуют? - сказал Нуль. - Что-то сложно... - произнесла Тройка. - Вот ты и попалась! - обрадовался Нуль.
- Ничего подобного! Секунду. Подождите! - судорожно вспоминала Тройка.
- Ну-ну.
Тройка взяла мелок и начала писать какие-то цифры, формируя таблицу.
- Посмотри, Нуль, - сказала Тройка.
- Что это?
- Это числовая таблица – «треугольник Паскаля», его форма может быть прямоугольной и равнобедренной. А на вершине и по боковым сторонам стоит наша подруга, Единица, - объяснила цифра Три. Каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. - Эх, ладно, отдавайте ей ключ, - сказал с грустью Нуль. Он направился к Двойке. - Тебе последний вопрос. Ответишь - молодец, не ответишь - останетесь пожизненно здесь! - грозно произнёс Нуль. Двойка насторожилась.
- Итак, какими свойствами обладает треугольник Паскаля? - задал вопрос Нуль.
- Треугольник Паскаля обладает симметрией, относительно оси, главной диагонали – "биссектрисы прямого угла", - выдохнула Двойка. У чисел, составляющих треугольник Паскаля, есть интересное свойство делимости. Если обозначить одним цветом те числа, которые делятся нацело на какое-нибудь натуральное число, а другим цветом числа, делящиеся с остатком, получаются неожиданные узоры
Белым выделены числа, которые делятся на 2
Такая фигура называется фрактальным «треугольником Серпинского». А теперь, Нуль, посмотри на это:
Красные треугольные "зоны Серпинского» накладываются на зеленые окна от девяток, и дают желтые зоны, а с синими участками от деления на 11 дают сиреневые участки.
Расстроился Нуль. Но ни за что не хотел отпускать своих пленников. Схватил последний ключ и бросился бежать вверх по лестнице замка «Логика». Смелая и сообразительная Единица, пытаясь спасти друзей, встала у него на пути. Нуль не пожалел Единицу и разделил её. И тут, на удивление всем появилась Бесконечность…
1/0=∞
Единица осталась цела и невредима. У друзей оказалось 4 ключа. Они открыли ими все замки и освободились из заточения. Двойка, Тройка и Единица вернулись в своё государство.
Чтобы больше не нарушалось единство Бесконечности натуральных чисел, Её Величество Бесконечность создала непобедимую армию из натуральных чисел, мощь которой равнялась произведению всех её жителей. Назвали её "Факториал". И до сегодняшних дней государство Бесконечности натуральных чисел живёт и здравствует!
А Нулю Единица сказала: «Не печалься, Нуль, ты можешь к нам присоединиться. Мы пригласим числа, противоположные нам. И тогда наше государство будет называться Целыми числами». Но это уже совсем другая сказка…
Изображения взяты отсюда:
https://darrung.blogspot.com/2020/06/blog-post_20.html