Варианты изображения треугольника Паскаля
Треугольник Паскаля – вот самое главное достижение Паскаля. Говорят, что этот вид числовой модели изучался уже тысячи лет назад, а именно Паскаль дал ей правильную интерпретацию. А как выглядит сам треугольник? Он начинается сверху, с единицы, и две его стороны равны единице, сумма старших чисел приводит к меньшим числам и, вот так, получается структура такого треугольника. Поскольку числа - бесконечные, треугольник тоже бесконечен. Его широко используют в науках, таких как алгебра, теория вероятности, комбинаторика, и в других разных областях математики.
Ещё до 1665 года, знали об этой таблице.
Омар Хайям, живший в 1110 году, уже знал треугольник, он заимствовал его из китайских и индийских источников. В Иране треугольник Паскаля называют треугольником Хаяма.
В 1303 году вышла книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов», написанная математиком Чжу Шицзе, которая уже представляла собой треугольник; предположительно изобретенный другим китайским математиком Ян Хуэем (китайцы до сих пор называют его треугольником Яна Хуэя).
В Италии треугольную таблицу Паскаля обычно называют «треугольником Тартальи», потому что Никколо Тарталья смог описать эту таблицу на 100 лет раньше Паскаля. Питер Апиан написал эту таблицу на обложке своей книги в 1529 году.
Таблица биномиальных коэффициентов из книги Якоба Бернулли «Искуство предположений» 1713 год.
Предположим, вы входите в город, как показано на рисунке Синей Стрелкой, и вы можете идти только вперед, точнее, каждый раз, когда вы выбираете, вперед влево или вперед вправо. Узлы, доступные только одним способом, помечены зелеными смайликами, точка, которая может быть достигнута двумя способами, красным Смайликом и тремя розовыми. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в классическом "математическом калейдоскопе".
Связь с простыми числами, обнаруженная в 1972 г. (Г.В. Манн и Д. Шенкс)
Свойства треугольника Паскаля
1. Второе число строк соответствует количеству строк.
2. Третий номер каждой строки равен сумме номеров предыдущих строк.
3. Третье число каждого ряда треугольное.
4. Четвертое число каждого ряда тетраэдрическое.
5. Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1, есть n-е число Фибоначчи
6. Если вы вычтете из центрального числа из четной строки соседнее число из той же строки, то получите число Каталана.
7. Сумма чисел n- ой строки в треугольнике Паскаля равна 2n.
8. Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.
9. Если все нечетные числа в треугольнике Паскаля черные, а четное-белое, то образуется Треугольник Серпинского.
Красные треугольные "зоны Серпинского" накладываются на зеленые окна от девяток, и дают желтые зоны, а с синими участками от деления на 11 дают сиреневые участки.
10. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.
11. . Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 12. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120.
12. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y)n по степеням x и y. Например, (x+y)2=x2+2xy+y2 и (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3. Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника.
13. В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой
где n!=1*2*3*4*....*n так называемый факториал числа n. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле
причем, они же и являются, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.
14
. Треугольник Паскаля двумерный, лежит в плоскости. Непроизвольно появляется мысль - а нельзя ли его закономерности распространить на трехмерный (и четырех -...) аналог? Оказывается можно! Существует трехмерный аналог треугольника - пирамида Паскаля, ее связь с триномиальными коэффициентами. Пирамиду Паскаля можно строить в форме тетраэдра, а также пирамиды с различными значениями двухгранных углов, один из которых прямой.
По трем внешним ребрам пирамиды стоят единицы. Каждая из трех боковых граней представляет собой треугольник Паскаля. Любой внутренний элемент пирамиды Паскаля, стоящий в n-м сечении, равен сумме трех элементов, расположенных в углах элементарного треугольника (n-1)-го сечения пирамиды. Сечение получается из треугольника Паскаля, основанием которого служит n-я строка Паскаля, умножением элементов его строк почленно на элементы основания, повернутого против часовой стрелки на угол π/2.
Если сечение пирамиды Паскаля является правильным треугольником, то при любом n оно имеет три оси симметрии. На рисунке указаны оси симметрии сечения при n = 4.
15. В треугольнике Паскаля выделены числа, которые делятся на 2.
16. Треугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся – белым.
17. Треугольник Паскаля, преобразованный по методу Пифагора: цифры числа суммируются до тех пор, пока не будет получено однозначное число (для любителей мистики)
Ссылки на изображения:
Исходный файл с данными:
https://disk.yandex.ru/i/N0HXF70x3XPttA